חלק א' - שילוב נוסחאות ופירוק
שאלה 1: \((2x-3y)^2-(2x+3y)^2\)
פתרון: זהו הבדל בין שני ריבועים על אותם בסיסים. נשתמש בנוסחה \(A^2-B^2=(A+B)(A-B)\):
\(= [(2x-3y)+(2x+3y)][(2x-3y)-(2x+3y)]\)
\(= (4x)(-6y) = -24xy\)
תשובה סופית: \(-24xy\)
שאלה 2: \((3a+2b)^2-9(a-b^2)\)
פתרון: נפתח את הריבוע ונפשט:
\(= 9a^2+12ab+4b^2-9a+9b^2\)
\(= 9a^2+12ab-9a+13b^2\)
\(= 3a(3a+4b-3)+13b^2\)
תשובה סופית: \(9a^2+12ab-9a+13b^2\)
שאלה 3: \((x+2y)(x-2y)+3(x-2y)^2\)
פתרון: נחלץ גורם משותף:
\(= (x-2y)[(x+2y)+3(x-2y)]\)
\(= (x-2y)(x+2y+3x-6y)\)
\(= (x-2y)(4x-4y)\)
\(= 4(x-2y)(x-y)\)
תשובה סופית: \(4(x-2y)(x-y)\)
שאלה 4: \((5m+2n)^2+(5m-2n)^2-2(25m^2-4n^2)\)
פתרון: נפתח כל ביטוי:
\(= (25m^2+20mn+4n^2)+(25m^2-20mn+4n^2)-50m^2+8n^2\)
\(= 50m^2+8n^2-50m^2+8n^2\)
\(= 16n^2\)
תשובה סופית: \(16n^2\)
שאלה 5: \((2p+3q)^2-8(p-2q)+16\)
פתרון: נפתח ונסדר:
\(= 4p^2+12pq+9q^2-8p+16q+16\)
לא ניתן לפרק בקלות, התשובה נשארת פתוחה.
תשובה סופית: \(4p^2+12pq+9q^2-8p+16q+16\)
חלק ב' - כינוס איברים
שאלה 6: \((2x+3)^2+(2x-3)^2-2(4x^2-9)\)
פתרון:
\(= (4x^2+12x+9)+(4x^2-12x+9)-8x^2+18\)
\(= 8x^2+18-8x^2+18\)
\(= 36\)
תשובה סופית: \(36\)
שאלה 7: \((3y-4)^2-(3y+4)(3y-4)\)
פתרון: נחלץ גורם משותף:
\(= (3y-4)[(3y-4)-(3y+4)]\)
\(= (3y-4)(-8)\)
\(= -8(3y-4)\)
תשובה סופית: \(-8(3y-4)\)
שאלה 8: \((2a+3b)^2+(2a-3b)^2-8a^2\)
פתרון:
\(= (4a^2+12ab+9b^2)+(4a^2-12ab+9b^2)-8a^2\)
\(= 8a^2+18b^2-8a^2\)
\(= 18b^2\)
תשובה סופית: \(18b^2\)
שאלה 9: \((4t+1)^2-(4t-1)^2+6(4t-1)\)
פתרון: נשתמש בהבדל ריבועים:
\(= [(4t+1)+(4t-1)][(4t+1)-(4t-1)] + 6(4t-1)\)
\(= (8t)(2) + 6(4t-1)\)
\(= 16t + 24t - 6 = 40t - 6\)
תשובה סופית: \(40t-6\)
שאלה 10: \((2u-3v)^2-4(2u+3v)(2u-3v)+(2u+3v)^2\)
פתרון: זהו ביטוי מהצורה \((a-b)^2-4ab+(a+b)^2\):
\(= [(2u-3v)+(2u+3v)]^2-4(2u+3v)(2u-3v)\)
\(= (4u)^2-4(4u^2-9v^2)\)
\(= 16u^2-16u^2+36v^2 = 36v^2\)
תשובה סופית: \(36v^2\)
חלק ג' - רמה מתקדמת
שאלה 11: \((3x-4y)^2+(3x+4y)^2-2(3x+4y)(3x-4y)\)
פתרון: נשתמש בזהות \((a+b)^2+(a-b)^2-2(a+b)(a-b) = 2b^2\):
\(= 2(4y)^2 = 32y^2\)
תשובה סופית: \(32y^2\)
שאלה 12: \((5a-2b)^2-25a(a-2b)\)
פתרון: נחלץ גורם משותף:
\(= (5a-2b)^2-25a(a-2b)\)
\(= (5a-2b)[(5a-2b)-5a]\)
\(= (5a-2b)(-2b) = -2b(5a-2b)\)
תשובה סופית: \(-2b(5a-2b)\)
שאלה 13: \((k+5)^2-2(k+5)(k-5)+(k-5)^2\)
פתרון: זהו ריבוע של הפרש:
\(= [(k+5)-(k-5)]^2 = (10)^2 = 100\)
תשובה סופית: \(100\)
שאלה 14: \((2x+y)^2+3(2x-y)^2-4(4x^2+y^2)\)
פתרון: נפתח ונפשט:
\(= (4x^2+4xy+y^2)+3(4x^2-4xy+y^2)-16x^2-4y^2\)
\(= 4x^2+4xy+y^2+12x^2-12xy+3y^2-16x^2-4y^2\)
\(= -8xy\)
תשובה סופית: \(-8xy\)
שאלה 15: \((3m+2n)^2-6(3m+2n)+(3m-2n)^2\)
פתרון: נפתח ונסדר:
\(= (9m^2+12mn+4n^2)-18m-12n+(9m^2-12mn+4n^2)\)
\(= 18m^2+8n^2-18m-12n\)
\(= 2(9m^2-9m+4n^2-6n)\)
תשובה סופית: \(18m^2+8n^2-18m-12n\)
חלק ד' - תרגיל פרמטרי
שאלה 16: נתון \(x+y=8\) ו־\(xy=12\)
פתרון:
א) \(x^2+y^2 = (x+y)^2-2xy = 8^2-2(12) = 64-24 = 40\)
ב) \((x-y)^2 = (x+y)^2-4xy = 64-48 = 16\)
ג) \((x+y)^3 = 8^3 = 512\)
תשובות סופיות: א) 40, ב) 16, ג) 512