שאלות חשובות !!!!-סדרות - יא 5 ב"ג
פתרון
## ✍️ פתרון התרגיל
### סעיף א' (1): הוכחת a₂ · a₂ₙ₋₁ = a₁ · a₂ₙ
כדי להוכיח את השוויון, נבטא כל איבר באמצעות האיבר הראשון a₁ ומנת הסדרה q, לפי הנוסחה לאיבר כללי בסדרה הנדסית: aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹.
* **אגף שמאל:**
* נבטא את a₂:
a₂ = a₁ · q²⁻¹ = a₁ · q
* נבטא את a₂ₙ₋₁:
a₂ₙ₋₁ = a₁ · q⁽²ⁿ⁻¹⁾⁻¹ = a₁ · q²ⁿ⁻²
* נכפיל אותם:
a₂ · a₂ₙ₋₁ = (a₁ · q) · (a₁ · q²ⁿ⁻²) = a₁² · q¹ ⁺ ⁽²ⁿ⁻²⁾ = **a₁² · q²ⁿ⁻¹**
* **אגף ימין:**
* נבטא את a₂ₙ:
a₂ₙ = a₁ · q²ⁿ⁻¹
* נכפיל ב-a₁:
a₁ · a₂ₙ = a₁ · (a₁ · q²ⁿ⁻¹) = **a₁² · q²ⁿ⁻¹**
שני האגפים שווים, ולכן a₂ · a₂ₙ₋₁ = a₁ · a₂ₙ.
**מ.ש.ל.**
—
### סעיף א' (2): הוכחת aₖ · a₂ₙ₋₍ₖ₋₁₎ = a₁ · a₂ₙ
זוהי הכללה של הסעיף הקודם. ראשית, נפשט את האינדקס (המקום בסדרה) של האיבר השני:
2n-(k-1) = 2n-k+1
אז אנחנו צריכים להוכיח: aₖ · a₂ₙ₋ₖ₊₁ = a₁ · a₂ₙ
* **אגף שמאל:**
* נבטא את aₖ:
aₖ = a₁ · qᵏ⁻¹
* נבטא את a₂ₙ₋ₖ₊₁:
a₂ₙ₋ₖ₊₁ = a₁ · q⁽²ⁿ⁻ᵏ⁺¹⁾⁻¹ = a₁ · q²ⁿ⁻ᵏ
* נכפיל אותם (נזכור לחבר מעריכים):
aₖ · a₂ₙ₋ₖ₊₁ = (a₁ · qᵏ⁻¹) · (a₁ · q²ⁿ⁻ᵏ) = a₁² · q⁽ᵏ⁻¹⁾ ⁺ ⁽²ⁿ⁻ᵏ⁾
= a₁² · qᵏ⁻¹⁺²ⁿ⁻ᵏ = **a₁² · q²ⁿ⁻¹**
* **אגף ימין:**
* כמו שראינו בסעיף הקודם:
a₁ · a₂ₙ = a₁ · (a₁ · q²ⁿ⁻¹) = **a₁² · q²ⁿ⁻¹**
שני האגפים שווים.
**מ.ש.ל.**
—
### סעיף ב': חישובים
נרכז את הנתונים:
1. מנת הסדרה: q = 3
2. סכום כל 2n האיברים: S₂ₙ = 3280
3. בסדרה יש 2n איברים (מספר זוגי), לכן יש שני איברים אמצעיים: aₙ ו-aₙ₊₁. נתון שמכפלתם היא 2187.
aₙ · aₙ₊₁ = 2187
#### (1) הוכח כי a₁ = 1
כדי למצוא את a₁, נצטרך לבנות שתי משוואות עם שני נעלמים (a₁ ו-n).
**משוואה ראשונה (באמצעות המכפלה):**
נשתמש בתכונה שהוכחנו בסעיף א'(2). נציב k=n:
aₙ · a₂ₙ₋₍ₙ₋₁₎ = a₁ · a₂ₙ
aₙ · a₂ₙ₋ₙ₊₁ = a₁ · a₂ₙ
aₙ · aₙ₊₁ = a₁ · a₂ₙ
נתון לנו aₙ · aₙ₊₁ = 2187, לכן:
a₁ · a₂ₙ = 2187
נבטא את a₂ₙ באמצעות a₁ ו-q=3:
a₂ₙ = a₁ · q²ⁿ⁻¹ = a₁ · 3²ⁿ⁻¹
נציב זאת בחזרה במשוואה:
a₁ · (a₁ · 3²ⁿ⁻¹) = 2187
a₁² · 3²ⁿ⁻¹ = 2187
נבדוק חזקות של 3 ונגלה ש-3⁷ = 2187.
**a₁² · 3²ⁿ⁻¹ = 3⁷** (זו משוואה 1)
**משוואה שנייה (באמצעות הסכום):**
נשתמש בנוסחת סכום סדרה הנדסית: Sₙ = (a₁(qⁿ – 1)) / (q-1)
במקרה שלנו N = 2n ו-q=3:
S₂ₙ = (a₁(3²ⁿ – 1)) / (3-1) = 3280
(a₁(3²ⁿ – 1)) / 2 = 3280
**a₁(3²ⁿ – 1) = 6560** (זו משוואה 2)
**פתרון שתי המשוואות:**
נבודד את 3²ⁿ מכל אחת מהמשוואות.
* ממשוואה 1:
3²ⁿ⁻¹ = 3⁷ / a₁²
3²ⁿ / 3 = 3⁷ / a₁²
3²ⁿ = (3 · 3⁷) / a₁² = 3⁸ / a₁²
(נחשב 3⁸ = 6561)
3²ⁿ = 6561 / a₁²
* ממשוואה 2:
3²ⁿ – 1 = 6560 / a₁
3²ⁿ = (6560 / a₁) + 1
עכשיו נשווה בין שני הביטויים שקיבלנו עבור 3²ⁿ:
6561 / a₁² = (6560 / a₁) + 1
נכפיל את כל המשוואה ב-a₁² (כדי להיפטר מהמכנה):
6561 = 6560 · a₁ + a₁²
a₁² + 6560a₁ – 6561 = 0
קיבלנו משוואה ריבועית. נפתור אותה עם נוסחת השורשים:
a₁ = [-6560 ± sqrt(6560² – 4 · 1 · (-6561))] / 2
a₁ = [-6560 ± sqrt(43033600 + 26244)] / 2
a₁ = [-6560 ± sqrt(43059844)] / 2
a₁ = [-6560 ± 6562] / 2
יש שתי אפשרויות:
1. a₁ = (-6560 + 6562) / 2 = 2 / 2 = **1**
2. a₁ = (-6560 – 6562) / 2 = -13122 / 2 = -6561
כדי לדעת איזו תשובה נכונה, נצטרך לבדוק איזו מהן נותנת n טבעי.
* **נבדוק a₁ = 1:**
נציב במשוואה 1:
1² · 3²ⁿ⁻¹ = 3⁷
3²ⁿ⁻¹ = 3⁷
2n-1 = 7
2n = 8 => n = 4
זו תוצאה הגיונית (n=4 הוא מספר טבעי).
* **נבדוק a₁ = -6561:**
נציב במשוואה 1:
(-6561)² · 3²ⁿ⁻¹ = 3⁷
(-3⁸)² · 3²ⁿ⁻¹ = 3⁷
3¹⁶ · 3²ⁿ⁻¹ = 3⁷
3¹⁵⁺²ⁿ = 3⁷
15+2n = 7 => 2n = -8
מספר האיברים (2n) לא יכול להיות שלילי, ולכן פתרון זה נפסל.
הפתרון היחיד האפשרי הוא a₁ = 1.
**מ.ש.ל.**
#### (2) מצאו את מספר איברי הסדרה
במהלך הבדיקה בסעיף הקודם, כאשר הצבנו a₁ = 1, קיבלנו:
2n-1 = 7
2n = 8
מספר האיברים בסדרה הוא 2n.
**מספר איברי הסדרה הוא 8.**
## ✍️ פתרון התרגיל
### סעיף א' (1): הוכחת a₂ · a₂ₙ₋₁ = a₁ · a₂ₙ
כדי להוכיח את השוויון, נבטא כל איבר באמצעות האיבר הראשון a₁ ומנת הסדרה q, לפי הנוסחה לאיבר כללי בסדרה הנדסית: aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹.
* **אגף שמאל:**
* נבטא את a₂:
a₂ = a₁ · q²⁻¹ = a₁ · q
* נבטא את a₂ₙ₋₁:
a₂ₙ₋₁ = a₁ · q⁽²ⁿ⁻¹⁾⁻¹ = a₁ · q²ⁿ⁻²
* נכפיל אותם:
a₂ · a₂ₙ₋₁ = (a₁ · q) · (a₁ · q²ⁿ⁻²) = a₁² · q¹ ⁺ ⁽²ⁿ⁻²⁾ = **a₁² · q²ⁿ⁻¹**
* **אגף ימין:**
* נבטא את a₂ₙ:
a₂ₙ = a₁ · q²ⁿ⁻¹
* נכפיל ב-a₁:
a₁ · a₂ₙ = a₁ · (a₁ · q²ⁿ⁻¹) = **a₁² · q²ⁿ⁻¹**
שני האגפים שווים, ולכן a₂ · a₂ₙ₋₁ = a₁ · a₂ₙ.
**מ.ש.ל.**
—
### סעיף א' (2): הוכחת aₖ · a₂ₙ₋₍ₖ₋₁₎ = a₁ · a₂ₙ
זוהי הכללה של הסעיף הקודם. ראשית, נפשט את האינדקס (המקום בסדרה) של האיבר השני:
2n-(k-1) = 2n-k+1
אז אנחנו צריכים להוכיח: aₖ · a₂ₙ₋ₖ₊₁ = a₁ · a₂ₙ
* **אגף שמאל:**
* נבטא את aₖ:
aₖ = a₁ · qᵏ⁻¹
* נבטא את a₂ₙ₋ₖ₊₁:
a₂ₙ₋ₖ₊₁ = a₁ · q⁽²ⁿ⁻ᵏ⁺¹⁾⁻¹ = a₁ · q²ⁿ⁻ᵏ
* נכפיל אותם (נזכור לחבר מעריכים):
aₖ · a₂ₙ₋ₖ₊₁ = (a₁ · qᵏ⁻¹) · (a₁ · q²ⁿ⁻ᵏ) = a₁² · q⁽ᵏ⁻¹⁾ ⁺ ⁽²ⁿ⁻ᵏ⁾
= a₁² · qᵏ⁻¹⁺²ⁿ⁻ᵏ = **a₁² · q²ⁿ⁻¹**
* **אגף ימין:**
* כמו שראינו בסעיף הקודם:
a₁ · a₂ₙ = a₁ · (a₁ · q²ⁿ⁻¹) = **a₁² · q²ⁿ⁻¹**
שני האגפים שווים.
**מ.ש.ל.**
—
### סעיף ב': חישובים
נרכז את הנתונים:
1. מנת הסדרה: q = 3
2. סכום כל 2n האיברים: S₂ₙ = 3280
3. בסדרה יש 2n איברים (מספר זוגי), לכן יש שני איברים אמצעיים: aₙ ו-aₙ₊₁. נתון שמכפלתם היא 2187.
aₙ · aₙ₊₁ = 2187
#### (1) הוכח כי a₁ = 1
כדי למצוא את a₁, נצטרך לבנות שתי משוואות עם שני נעלמים (a₁ ו-n).
**משוואה ראשונה (באמצעות המכפלה):**
נשתמש בתכונה שהוכחנו בסעיף א'(2). נציב k=n:
aₙ · a₂ₙ₋₍ₙ₋₁₎ = a₁ · a₂ₙ
aₙ · a₂ₙ₋ₙ₊₁ = a₁ · a₂ₙ
aₙ · aₙ₊₁ = a₁ · a₂ₙ
נתון לנו aₙ · aₙ₊₁ = 2187, לכן:
a₁ · a₂ₙ = 2187
נבטא את a₂ₙ באמצעות a₁ ו-q=3:
a₂ₙ = a₁ · q²ⁿ⁻¹ = a₁ · 3²ⁿ⁻¹
נציב זאת בחזרה במשוואה:
a₁ · (a₁ · 3²ⁿ⁻¹) = 2187
a₁² · 3²ⁿ⁻¹ = 2187
נבדוק חזקות של 3 ונגלה ש-3⁷ = 2187.
**a₁² · 3²ⁿ⁻¹ = 3⁷** (זו משוואה 1)
**משוואה שנייה (באמצעות הסכום):**
נשתמש בנוסחת סכום סדרה הנדסית: Sₙ = (a₁(qⁿ – 1)) / (q-1)
במקרה שלנו N = 2n ו-q=3:
S₂ₙ = (a₁(3²ⁿ – 1)) / (3-1) = 3280
(a₁(3²ⁿ – 1)) / 2 = 3280
**a₁(3²ⁿ – 1) = 6560** (זו משוואה 2)
**פתרון שתי המשוואות:**
נבודד את 3²ⁿ מכל אחת מהמשוואות.
* ממשוואה 1:
3²ⁿ⁻¹ = 3⁷ / a₁²
3²ⁿ / 3 = 3⁷ / a₁²
3²ⁿ = (3 · 3⁷) / a₁² = 3⁸ / a₁²
(נחשב 3⁸ = 6561)
3²ⁿ = 6561 / a₁²
* ממשוואה 2:
3²ⁿ – 1 = 6560 / a₁
3²ⁿ = (6560 / a₁) + 1
עכשיו נשווה בין שני הביטויים שקיבלנו עבור 3²ⁿ:
6561 / a₁² = (6560 / a₁) + 1
נכפיל את כל המשוואה ב-a₁² (כדי להיפטר מהמכנה):
6561 = 6560 · a₁ + a₁²
a₁² + 6560a₁ – 6561 = 0
קיבלנו משוואה ריבועית. נפתור אותה עם נוסחת השורשים:
a₁ = [-6560 ± sqrt(6560² – 4 · 1 · (-6561))] / 2
a₁ = [-6560 ± sqrt(43033600 + 26244)] / 2
a₁ = [-6560 ± sqrt(43059844)] / 2
a₁ = [-6560 ± 6562] / 2
יש שתי אפשרויות:
1. a₁ = (-6560 + 6562) / 2 = 2 / 2 = **1**
2. a₁ = (-6560 – 6562) / 2 = -13122 / 2 = -6561
כדי לדעת איזו תשובה נכונה, נצטרך לבדוק איזו מהן נותנת n טבעי.
* **נבדוק a₁ = 1:**
נציב במשוואה 1:
1² · 3²ⁿ⁻¹ = 3⁷
3²ⁿ⁻¹ = 3⁷
2n-1 = 7
2n = 8 => n = 4
זו תוצאה הגיונית (n=4 הוא מספר טבעי).
* **נבדוק a₁ = -6561:**
נציב במשוואה 1:
(-6561)² · 3²ⁿ⁻¹ = 3⁷
(-3⁸)² · 3²ⁿ⁻¹ = 3⁷
3¹⁶ · 3²ⁿ⁻¹ = 3⁷
3¹⁵⁺²ⁿ = 3⁷
15+2n = 7 => 2n = -8
מספר האיברים (2n) לא יכול להיות שלילי, ולכן פתרון זה נפסל.
הפתרון היחיד האפשרי הוא a₁ = 1.
**מ.ש.ל.**
#### (2) מצאו את מספר איברי הסדרה
במהלך הבדיקה בסעיף הקודם, כאשר הצבנו a₁ = 1, קיבלנו:
2n-1 = 7
2n = 8
מספר האיברים בסדרה הוא 2n.
**מספר איברי הסדרה הוא 8.**
פתרון
## ✍️ פתרון התרגיל
### סעיף א': מציאת a₁
נתונה סדרה הנדסית aₙ.
נקרא למנת הסדרה qₐ.
**נתונים:**
1. האיבר השלישי (a₃) גדול ב-2 מהאיבר השני (a₂):
a₃ = a₂ + 2
2. האיבר הרביעי (a₄) גדול פי 2 מהאיבר השלישי (a₃):
a₄ = 2 · a₃
**שלב 1: מציאת מנת הסדרה (qₐ)**
נשתמש בנתון השני. לפי הגדרת סדרה הנדסית, a₄ = a₃ · qₐ.
נשווה זאת לנתון:
a₃ · qₐ = 2 · a₃
מכיוון ש-a₃ ≠ 0 (אחרת כל הסדרה 0, ו-a₂ יהיה 2-), נחלק ב-a₃:
**qₐ = 2**
**שלב 2: מציאת a₁**
נשתמש בנתון הראשון:
a₃ = a₂ + 2
נבטא את a₃ ו-a₂ באמצעות a₁ ו-qₐ = 2:
* a₂ = a₁ · qₐ = a₁ · 2
* a₃ = a₁ · qₐ² = a₁ · 2² = a₁ · 4
נציב במשוואה:
4a₁ = 2a₁ + 2
2a₁ = 2
**a₁ = 1**
**תשובה לסעיף א':** a₁ = 1.
---
### סעיף ב': הסדרה החדשה
נתונה סדרה הנדסית נוספת bₙ עם מנה qₑ.
בונים סדרה חדשה cₙ שאיבריה הם:
cₙ = aₙ / bₙ
**נתונים על הסדרה החדשה cₙ:**
1. הסדרה cₙ היא סדרה הנדסית.
2. מנת הסדרה החדשה היא qₙ = 3.
3. סכום 10 האיברים הראשונים בסדרה החדשה הוא S₁₀(c) = 7381.
#### (1) מצא את האיבר הראשון בסדרה החדשה (c₁) ומצא את b₁
**שלב 1: מציאת c₁**
נשתמש בנוסחת סכום סדרה הנדסית עבור הסדרה cₙ:
Sₙ = c₁(qₙⁿ - 1) / (qₙ - 1)
נציב את הנתונים (n=10, qₙ=3, S₁₀=7381):
7381 = c₁(3¹⁰ - 1) / (3 - 1)
7381 = c₁(59049 - 1) / 2
7381 = c₁(59048) / 2
7381 = c₁ · 29524
c₁ = 7381 / 29524
**c₁ = 1/4**
**שלב 2: מציאת b₁**
לפי הגדרת הסדרה החדשה: c₁ = a₁ / b₁
מצאנו בסעיף א' ש-a₁ = 1, ומצאנו עכשיו ש-c₁ = 1/4.
1/4 = 1 / b₁
**b₁ = 4**
**תשובה לסעיף ב'(1):**
* האיבר הראשון בסדרה החדשה (c₁) הוא **1/4**.
* **b₁ = 4**.
---
#### (2) מצא את המנה של הסדרה bₙ
הסדרה cₙ = aₙ / bₙ היא סדרה הנדסית, ולכן המנה qₙ קבועה:
qₙ = cₙ₊₁ / cₙ
נבטא את cₙ₊₁ ו-cₙ באמצעות הסדרות aₙ ו-bₙ:
qₙ = (aₙ₊₁ / bₙ₊₁) / (aₙ / bₙ)
qₙ = (aₙ₊₁ / bₙ₊₁) · (bₙ / aₙ)
qₙ = (aₙ₊₁ / aₙ) · (bₙ / bₙ₊₁)
אנחנו יודעים ש:
* aₙ₊₁ / aₙ = qₐ = 2 (המנה של סדרה aₙ)
* bₙ₊₁ / bₙ = qₑ (המנה של סדרה bₙ), ולכן bₙ / bₙ₊₁ = 1 / qₑ
נציב את אלה ואת qₙ=3 במשוואה:
3 = 2 · (1 / qₑ)
3 = 2 / qₑ
3qₑ = 2
**qₑ = 2/3**
**תשובה לסעיף ב'(2):** המנה של הסדרה bₙ היא **2/3**.
---
#### (3) מצא את הערך של n שעבורו bₙ = 4 · (8/27)
נפשט קודם את הביטוי:
bₙ = 4 · (8/27) = 32/27
נשתמש בנוסחה לאיבר כללי בסדרה הנדסית bₙ:
bₙ = b₁ · (qₑ)ⁿ⁻¹
מצאנו בסעיפים הקודמים:
* b₁ = 4
* qₑ = 2/3
נציב ופתור את המשוואה עבור n:
32/27 = 4 · (2/3)ⁿ⁻¹
נחלק ב-4:
32 / (27 · 4) = (2/3)ⁿ⁻¹
8 / 27 = (2/3)ⁿ⁻¹
נרצה להציג את אגף שמאל כחזקה של 2/3:
* 8 = 2³
* 27 = 3³
לכן, 8/27 = (2/3)³.
נחזור למשוואה:
(2/3)³ = (2/3)ⁿ⁻¹
נשווה את המעריכים:
3 = n-1
**n = 4**
**תשובה לסעיף ב'(3):** הערך של n הוא **4**.
## ✍️ פתרון התרגיל
### סעיף א' (1): הוכחת a₂ · a₂ₙ₋₁ = a₁ · a₂ₙ
כדי להוכיח את השוויון, נבטא כל איבר באמצעות האיבר הראשון a₁ ומנת הסדרה q, לפי הנוסחה לאיבר כללי בסדרה הנדסית: aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹.
* **אגף שמאל:**
* נבטא את a₂:
a₂ = a₁ · q²⁻¹ = a₁ · q
* נבטא את a₂ₙ₋₁:
a₂ₙ₋₁ = a₁ · q⁽²ⁿ⁻¹⁾⁻¹ = a₁ · q²ⁿ⁻²
* נכפיל אותם:
a₂ · a₂ₙ₋₁ = (a₁ · q) · (a₁ · q²ⁿ⁻²) = a₁² · q¹ ⁺ ⁽²ⁿ⁻²⁾ = **a₁² · q²ⁿ⁻¹**
* **אגף ימין:**
* נבטא את a₂ₙ:
a₂ₙ = a₁ · q²ⁿ⁻¹
* נכפיל ב-a₁:
a₁ · a₂ₙ = a₁ · (a₁ · q²ⁿ⁻¹) = **a₁² · q²ⁿ⁻¹**
שני האגפים שווים, ולכן a₂ · a₂ₙ₋₁ = a₁ · a₂ₙ.
**מ.ש.ל.**
—
### סעיף א' (2): הוכחת aₖ · a₂ₙ₋₍ₖ₋₁₎ = a₁ · a₂ₙ
זוהי הכללה של הסעיף הקודם. ראשית, נפשט את האינדקס (המקום בסדרה) של האיבר השני:
2n-(k-1) = 2n-k+1
אז אנחנו צריכים להוכיח: aₖ · a₂ₙ₋ₖ₊₁ = a₁ · a₂ₙ
* **אגף שמאל:**
* נבטא את aₖ:
aₖ = a₁ · qᵏ⁻¹
* נבטא את a₂ₙ₋ₖ₊₁:
a₂ₙ₋ₖ₊₁ = a₁ · q⁽²ⁿ⁻ᵏ⁺¹⁾⁻¹ = a₁ · q²ⁿ⁻ᵏ
* נכפיל אותם (נזכור לחבר מעריכים):
aₖ · a₂ₙ₋ₖ₊₁ = (a₁ · qᵏ⁻¹) · (a₁ · q²ⁿ⁻ᵏ) = a₁² · q⁽ᵏ⁻¹⁾ ⁺ ⁽²ⁿ⁻ᵏ⁾
= a₁² · qᵏ⁻¹⁺²ⁿ⁻ᵏ = **a₁² · q²ⁿ⁻¹**
* **אגף ימין:**
* כמו שראינו בסעיף הקודם:
a₁ · a₂ₙ = a₁ · (a₁ · q²ⁿ⁻¹) = **a₁² · q²ⁿ⁻¹**
שני האגפים שווים.
**מ.ש.ל.**
—
### סעיף ב': חישובים
נרכז את הנתונים:
1. מנת הסדרה: q = 3
2. סכום כל 2n האיברים: S₂ₙ = 3280
3. בסדרה יש 2n איברים (מספר זוגי), לכן יש שני איברים אמצעיים: aₙ ו-aₙ₊₁. נתון שמכפלתם היא 2187.
aₙ · aₙ₊₁ = 2187
#### (1) הוכח כי a₁ = 1
כדי למצוא את a₁, נצטרך לבנות שתי משוואות עם שני נעלמים (a₁ ו-n).
**משוואה ראשונה (באמצעות המכפלה):**
נשתמש בתכונה שהוכחנו בסעיף א'(2). נציב k=n:
aₙ · a₂ₙ₋₍ₙ₋₁₎ = a₁ · a₂ₙ
aₙ · a₂ₙ₋ₙ₊₁ = a₁ · a₂ₙ
aₙ · aₙ₊₁ = a₁ · a₂ₙ
נתון לנו aₙ · aₙ₊₁ = 2187, לכן:
a₁ · a₂ₙ = 2187
נבטא את a₂ₙ באמצעות a₁ ו-q=3:
a₂ₙ = a₁ · q²ⁿ⁻¹ = a₁ · 3²ⁿ⁻¹
נציב זאת בחזרה במשוואה:
a₁ · (a₁ · 3²ⁿ⁻¹) = 2187
a₁² · 3²ⁿ⁻¹ = 2187
נבדוק חזקות של 3 ונגלה ש-3⁷ = 2187.
**a₁² · 3²ⁿ⁻¹ = 3⁷** (זו משוואה 1)
**משוואה שנייה (באמצעות הסכום):**
נשתמש בנוסחת סכום סדרה הנדסית: Sₙ = (a₁(qⁿ – 1)) / (q-1)
במקרה שלנו N = 2n ו-q=3:
S₂ₙ = (a₁(3²ⁿ – 1)) / (3-1) = 3280
(a₁(3²ⁿ – 1)) / 2 = 3280
**a₁(3²ⁿ – 1) = 6560** (זו משוואה 2)
**פתרון שתי המשוואות:**
נבודד את 3²ⁿ מכל אחת מהמשוואות.
* ממשוואה 1:
3²ⁿ⁻¹ = 3⁷ / a₁²
3²ⁿ / 3 = 3⁷ / a₁²
3²ⁿ = (3 · 3⁷) / a₁² = 3⁸ / a₁²
(נחשב 3⁸ = 6561)
3²ⁿ = 6561 / a₁²
* ממשוואה 2:
3²ⁿ – 1 = 6560 / a₁
3²ⁿ = (6560 / a₁) + 1
עכשיו נשווה בין שני הביטויים שקיבלנו עבור 3²ⁿ:
6561 / a₁² = (6560 / a₁) + 1
נכפיל את כל המשוואה ב-a₁² (כדי להיפטר מהמכנה):
6561 = 6560 · a₁ + a₁²
a₁² + 6560a₁ – 6561 = 0
קיבלנו משוואה ריבועית. נפתור אותה עם נוסחת השורשים:
a₁ = [-6560 ± sqrt(6560² – 4 · 1 · (-6561))] / 2
a₁ = [-6560 ± sqrt(43033600 + 26244)] / 2
a₁ = [-6560 ± sqrt(43059844)] / 2
a₁ = [-6560 ± 6562] / 2
יש שתי אפשרויות:
1. a₁ = (-6560 + 6562) / 2 = 2 / 2 = **1**
2. a₁ = (-6560 – 6562) / 2 = -13122 / 2 = -6561
כדי לדעת איזו תשובה נכונה, נצטרך לבדוק איזו מהן נותנת n טבעי.
* **נבדוק a₁ = 1:**
נציב במשוואה 1:
1² · 3²ⁿ⁻¹ = 3⁷
3²ⁿ⁻¹ = 3⁷
2n-1 = 7
2n = 8 => n = 4
זו תוצאה הגיונית (n=4 הוא מספר טבעי).
* **נבדוק a₁ = -6561:**
נציב במשוואה 1:
(-6561)² · 3²ⁿ⁻¹ = 3⁷
(-3⁸)² · 3²ⁿ⁻¹ = 3⁷
3¹⁶ · 3²ⁿ⁻¹ = 3⁷
3¹⁵⁺²ⁿ = 3⁷
15+2n = 7 => 2n = -8
מספר האיברים (2n) לא יכול להיות שלילי, ולכן פתרון זה נפסל.
הפתרון היחיד האפשרי הוא a₁ = 1.
**מ.ש.ל.**
#### (2) מצאו את מספר איברי הסדרה
במהלך הבדיקה בסעיף הקודם, כאשר הצבנו a₁ = 1, קיבלנו:
2n-1 = 7
2n = 8
מספר האיברים בסדרה הוא 2n.
**מספר איברי הסדרה הוא 8.**
פתרון
✍️ פתרון התרגיל
סעיף א': חישוב מנת הסדרה \(q\)
נתונה סדרה הנדסית \(a_n\) שכל איבריה חיוביים.
נתון: סכום \(n-3\) האיברים האחרונים גדול פי \(8\) מסכום \(n-3\) האיברים הראשונים.
סכום \(n-3\) האיברים הראשונים:
\[
S_{\text{first}} = a_1 \frac{q^{n-3}-1}{q-1}
\]
סכום \(n-3\) האיברים האחרונים:
\[
S_{\text{last}} = a_1 q^3 \frac{q^{n-3}-1}{q-1}
\]
לפי הנתון: \(S_{\text{last}} = 8S_{\text{first}}\)
\[
a_1 q^3 \frac{q^{n-3}-1}{q-1} = 8 a_1 \frac{q^{n-3}-1}{q-1}
\Rightarrow q^3 = 8 \Rightarrow q = 2
\]
תשובה: \(q=2\)
סעיף ב': חישוב היחס \(\dfrac{S_n}{T_n}\)
נתון: \(n\) זוגי, ו-\(q=2\).
\[
S_n = a_1 \frac{2^n – 1}{2 – 1} = a_1(2^n – 1)
\]
\[
T_n = a_1 \frac{(-2)^n – 1}{-3}
\]
מכיוון ש-\(n\) זוגי, מתקיים \((-2)^n = 2^n\).
\[
T_n = a_1 \frac{2^n – 1}{-3}
\]
\[
\frac{S_n}{T_n} = \frac{a_1(2^n – 1)}{a_1(2^n – 1)/(-3)} = -3
\]
תשובה: \(\frac{S_n}{T_n} = -3\)
סעיף ג': הסדרה החדשה \(b_k\)
(1) הוכחה ש-\(b_k\) היא סדרה הנדסית:
\[
b_k = a_k + a_{k+1} + a_{k+2} = a_k(1 + q + q^2)
\]
\[
b_{k+1} = a_{k+1}(1 + q + q^2)
\]
\[
\frac{b_{k+1}}{b_k} = \frac{a_{k+1}}{a_k} = q = 2
\]
לכן \(b_k\) היא סדרה הנדסית.
(2) הוכחה ש-\(b_k\) מתחלק ב־7 ללא שארית:
\[
b_k = a_k(1 + q + q^2) = a_k(1 + 2 + 4) = 7a_k
\]
מכיוון ש-\(a_k\) שלם, מתקבל כי \(b_k\) מתחלק ב־7 ללא שארית.
מ.ש.ל.
שאלות חשובות - סדרות
## ✍️ פתרון התרגיל
### סעיף א' (1): הוכחת a₂ · a₂ₙ₋₁ = a₁ · a₂ₙ
כדי להוכיח את השוויון, נבטא כל איבר באמצעות האיבר הראשון a₁ ומנת הסדרה q, לפי הנוסחה לאיבר כללי בסדרה הנדסית: aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹.
* **אגף שמאל:**
* נבטא את a₂:
a₂ = a₁ · q²⁻¹ = a₁ · q
* נבטא את a₂ₙ₋₁:
a₂ₙ₋₁ = a₁ · q⁽²ⁿ⁻¹⁾⁻¹ = a₁ · q²ⁿ⁻²
* נכפיל אותם:
a₂ · a₂ₙ₋₁ = (a₁ · q) · (a₁ · q²ⁿ⁻²) = a₁² · q¹ ⁺ ⁽²ⁿ⁻²⁾ = **a₁² · q²ⁿ⁻¹**
* **אגף ימין:**
* נבטא את a₂ₙ:
a₂ₙ = a₁ · q²ⁿ⁻¹
* נכפיל ב-a₁:
a₁ · a₂ₙ = a₁ · (a₁ · q²ⁿ⁻¹) = **a₁² · q²ⁿ⁻¹**
שני האגפים שווים, ולכן a₂ · a₂ₙ₋₁ = a₁ · a₂ₙ.
**מ.ש.ל.**
—
### סעיף א' (2): הוכחת aₖ · a₂ₙ₋₍ₖ₋₁₎ = a₁ · a₂ₙ
זוהי הכללה של הסעיף הקודם. ראשית, נפשט את האינדקס (המקום בסדרה) של האיבר השני:
2n-(k-1) = 2n-k+1
אז אנחנו צריכים להוכיח: aₖ · a₂ₙ₋ₖ₊₁ = a₁ · a₂ₙ
* **אגף שמאל:**
* נבטא את aₖ:
aₖ = a₁ · qᵏ⁻¹
* נבטא את a₂ₙ₋ₖ₊₁:
a₂ₙ₋ₖ₊₁ = a₁ · q⁽²ⁿ⁻ᵏ⁺¹⁾⁻¹ = a₁ · q²ⁿ⁻ᵏ
* נכפיל אותם (נזכור לחבר מעריכים):
aₖ · a₂ₙ₋ₖ₊₁ = (a₁ · qᵏ⁻¹) · (a₁ · q²ⁿ⁻ᵏ) = a₁² · q⁽ᵏ⁻¹⁾ ⁺ ⁽²ⁿ⁻ᵏ⁾
= a₁² · qᵏ⁻¹⁺²ⁿ⁻ᵏ = **a₁² · q²ⁿ⁻¹**
* **אגף ימין:**
* כמו שראינו בסעיף הקודם:
a₁ · a₂ₙ = a₁ · (a₁ · q²ⁿ⁻¹) = **a₁² · q²ⁿ⁻¹**
שני האגפים שווים.
**מ.ש.ל.**
—
### סעיף ב': חישובים
נרכז את הנתונים:
1. מנת הסדרה: q = 3
2. סכום כל 2n האיברים: S₂ₙ = 3280
3. בסדרה יש 2n איברים (מספר זוגי), לכן יש שני איברים אמצעיים: aₙ ו-aₙ₊₁. נתון שמכפלתם היא 2187.
aₙ · aₙ₊₁ = 2187
#### (1) הוכח כי a₁ = 1
כדי למצוא את a₁, נצטרך לבנות שתי משוואות עם שני נעלמים (a₁ ו-n).
**משוואה ראשונה (באמצעות המכפלה):**
נשתמש בתכונה שהוכחנו בסעיף א'(2). נציב k=n:
aₙ · a₂ₙ₋₍ₙ₋₁₎ = a₁ · a₂ₙ
aₙ · a₂ₙ₋ₙ₊₁ = a₁ · a₂ₙ
aₙ · aₙ₊₁ = a₁ · a₂ₙ
נתון לנו aₙ · aₙ₊₁ = 2187, לכן:
a₁ · a₂ₙ = 2187
נבטא את a₂ₙ באמצעות a₁ ו-q=3:
a₂ₙ = a₁ · q²ⁿ⁻¹ = a₁ · 3²ⁿ⁻¹
נציב זאת בחזרה במשוואה:
a₁ · (a₁ · 3²ⁿ⁻¹) = 2187
a₁² · 3²ⁿ⁻¹ = 2187
נבדוק חזקות של 3 ונגלה ש-3⁷ = 2187.
**a₁² · 3²ⁿ⁻¹ = 3⁷** (זו משוואה 1)
**משוואה שנייה (באמצעות הסכום):**
נשתמש בנוסחת סכום סדרה הנדסית: Sₙ = (a₁(qⁿ – 1)) / (q-1)
במקרה שלנו N = 2n ו-q=3:
S₂ₙ = (a₁(3²ⁿ – 1)) / (3-1) = 3280
(a₁(3²ⁿ – 1)) / 2 = 3280
**a₁(3²ⁿ – 1) = 6560** (זו משוואה 2)
**פתרון שתי המשוואות:**
נבודד את 3²ⁿ מכל אחת מהמשוואות.
* ממשוואה 1:
3²ⁿ⁻¹ = 3⁷ / a₁²
3²ⁿ / 3 = 3⁷ / a₁²
3²ⁿ = (3 · 3⁷) / a₁² = 3⁸ / a₁²
(נחשב 3⁸ = 6561)
3²ⁿ = 6561 / a₁²
* ממשוואה 2:
3²ⁿ – 1 = 6560 / a₁
3²ⁿ = (6560 / a₁) + 1
עכשיו נשווה בין שני הביטויים שקיבלנו עבור 3²ⁿ:
6561 / a₁² = (6560 / a₁) + 1
נכפיל את כל המשוואה ב-a₁² (כדי להיפטר מהמכנה):
6561 = 6560 · a₁ + a₁²
a₁² + 6560a₁ – 6561 = 0
קיבלנו משוואה ריבועית. נפתור אותה עם נוסחת השורשים:
a₁ = [-6560 ± sqrt(6560² – 4 · 1 · (-6561))] / 2
a₁ = [-6560 ± sqrt(43033600 + 26244)] / 2
a₁ = [-6560 ± sqrt(43059844)] / 2
a₁ = [-6560 ± 6562] / 2
יש שתי אפשרויות:
1. a₁ = (-6560 + 6562) / 2 = 2 / 2 = **1**
2. a₁ = (-6560 – 6562) / 2 = -13122 / 2 = -6561
כדי לדעת איזו תשובה נכונה, נצטרך לבדוק איזו מהן נותנת n טבעי.
* **נבדוק a₁ = 1:**
נציב במשוואה 1:
1² · 3²ⁿ⁻¹ = 3⁷
3²ⁿ⁻¹ = 3⁷
2n-1 = 7
2n = 8 => n = 4
זו תוצאה הגיונית (n=4 הוא מספר טבעי).
* **נבדוק a₁ = -6561:**
נציב במשוואה 1:
(-6561)² · 3²ⁿ⁻¹ = 3⁷
(-3⁸)² · 3²ⁿ⁻¹ = 3⁷
3¹⁶ · 3²ⁿ⁻¹ = 3⁷
3¹⁵⁺²ⁿ = 3⁷
15+2n = 7 => 2n = -8
מספר האיברים (2n) לא יכול להיות שלילי, ולכן פתרון זה נפסל.
הפתרון היחיד האפשרי הוא a₁ = 1.
**מ.ש.ל.**
#### (2) מצאו את מספר איברי הסדרה
במהלך הבדיקה בסעיף הקודם, כאשר הצבנו a₁ = 1, קיבלנו:
2n-1 = 7
2n = 8
מספר האיברים בסדרה הוא 2n.
**מספר איברי הסדרה הוא 8.**
פתרון
✍️ פתרון התרגיל
סעיף א': חישוב מנת הסדרה \(q\)
נתונה סדרה הנדסית \(a_n\) שכל איבריה חיוביים.
נתון כי סכום \(n-3\) האיברים האחרונים גדול פי 8 מסכום \(n-3\) האיברים הראשונים.
סכום \(n-3\) האיברים הראשונים:
\[
S_{\text{first}} = a_1 \cdot \frac{q^{n-3} – 1}{q – 1}
\]
סכום \(n-3\) האיברים האחרונים:
\[
S_{\text{last}} = a_4 + a_5 + \dots + a_n = a_1 q^3 \cdot \frac{q^{n-3} – 1}{q – 1}
\]
על פי הנתון: \( S_{\text{last}} = 8S_{\text{first}} \)
\[
a_1 q^3 \cdot \frac{q^{n-3} – 1}{q – 1} = 8 \cdot a_1 \cdot \frac{q^{n-3} – 1}{q – 1}
\]
\[
q^3 = 8 \;\Rightarrow\; q = 2
\]
תשובה: \(q = 2\)
סעיף ב': חישוב היחס \(\dfrac{S_n}{T_n}\)
נתון: \(n\) זוגי, ו-\(q = 2\).
סכום כל האיברים:
\[
S_n = a_1 \cdot \frac{2^n – 1}{2 – 1} = a_1(2^n – 1)
\]
סכום הסדרה המתחלפת:
\[
T_n = a_1 \cdot \frac{(-2)^n – 1}{-2 – 1} = a_1 \cdot \frac{(-2)^n – 1}{-3}
\]
מכיוון ש-\(n\) זוגי, מתקיים \((-2)^n = 2^n\).
\[
T_n = a_1 \cdot \frac{2^n – 1}{-3}
\]
\[
\frac{S_n}{T_n} = \frac{a_1(2^n – 1)}{a_1(2^n – 1)/(-3)} = -3
\]
תשובה: \(\dfrac{S_n}{T_n} = -3\)
סעיף ג': הסדרה החדשה \(b_k\)
(1) הוכחה ש-\(b_k\) היא סדרה הנדסית:
\[
b_k = a_k + a_{k+1} + a_{k+2} = a_k(1 + q + q^2)
\]
\[
b_{k+1} = a_{k+1}(1 + q + q^2)
\]
\[
\frac{b_{k+1}}{b_k} = \frac{a_{k+1}}{a_k} = q = 2
\]
כלומר, המנה קבועה ולכן \(b_k\) היא סדרה הנדסית.
(2) הוכחה ש-\(b_k\) מתחלק ב־7 ללא שארית:
\[
b_k = a_k(1 + q + q^2) = a_k(1 + 2 + 4) = 7a_k
\]
מכיוון ש-\(a_k\) הוא שלם, מתקבל כי \(b_k\) מתחלק ב־7 ללא שארית.
מ.ש.ל.
## ✍️ פתרון התרגיל
### סעיף א' (1): הוכחת a₂ · a₂ₙ₋₁ = a₁ · a₂ₙ
כדי להוכיח את השוויון, נבטא כל איבר באמצעות האיבר הראשון a₁ ומנת הסדרה q, לפי הנוסחה לאיבר כללי בסדרה הנדסית: aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹.
* **אגף שמאל:**
* נבטא את a₂:
a₂ = a₁ · q²⁻¹ = a₁ · q
* נבטא את a₂ₙ₋₁:
a₂ₙ₋₁ = a₁ · q⁽²ⁿ⁻¹⁾⁻¹ = a₁ · q²ⁿ⁻²
* נכפיל אותם:
a₂ · a₂ₙ₋₁ = (a₁ · q) · (a₁ · q²ⁿ⁻²) = a₁² · q¹ ⁺ ⁽²ⁿ⁻²⁾ = **a₁² · q²ⁿ⁻¹**
* **אגף ימין:**
* נבטא את a₂ₙ:
a₂ₙ = a₁ · q²ⁿ⁻¹
* נכפיל ב-a₁:
a₁ · a₂ₙ = a₁ · (a₁ · q²ⁿ⁻¹) = **a₁² · q²ⁿ⁻¹**
שני האגפים שווים, ולכן a₂ · a₂ₙ₋₁ = a₁ · a₂ₙ.
**מ.ש.ל.**
—
### סעיף א' (2): הוכחת aₖ · a₂ₙ₋₍ₖ₋₁₎ = a₁ · a₂ₙ
זוהי הכללה של הסעיף הקודם. ראשית, נפשט את האינדקס (המקום בסדרה) של האיבר השני:
2n-(k-1) = 2n-k+1
אז אנחנו צריכים להוכיח: aₖ · a₂ₙ₋ₖ₊₁ = a₁ · a₂ₙ
* **אגף שמאל:**
* נבטא את aₖ:
aₖ = a₁ · qᵏ⁻¹
* נבטא את a₂ₙ₋ₖ₊₁:
a₂ₙ₋ₖ₊₁ = a₁ · q⁽²ⁿ⁻ᵏ⁺¹⁾⁻¹ = a₁ · q²ⁿ⁻ᵏ
* נכפיל אותם (נזכור לחבר מעריכים):
aₖ · a₂ₙ₋ₖ₊₁ = (a₁ · qᵏ⁻¹) · (a₁ · q²ⁿ⁻ᵏ) = a₁² · q⁽ᵏ⁻¹⁾ ⁺ ⁽²ⁿ⁻ᵏ⁾
= a₁² · qᵏ⁻¹⁺²ⁿ⁻ᵏ = **a₁² · q²ⁿ⁻¹**
* **אגף ימין:**
* כמו שראינו בסעיף הקודם:
a₁ · a₂ₙ = a₁ · (a₁ · q²ⁿ⁻¹) = **a₁² · q²ⁿ⁻¹**
שני האגפים שווים.
**מ.ש.ל.**
—
### סעיף ב': חישובים
נרכז את הנתונים:
1. מנת הסדרה: q = 3
2. סכום כל 2n האיברים: S₂ₙ = 3280
3. בסדרה יש 2n איברים (מספר זוגי), לכן יש שני איברים אמצעיים: aₙ ו-aₙ₊₁. נתון שמכפלתם היא 2187.
aₙ · aₙ₊₁ = 2187
#### (1) הוכח כי a₁ = 1
כדי למצוא את a₁, נצטרך לבנות שתי משוואות עם שני נעלמים (a₁ ו-n).
**משוואה ראשונה (באמצעות המכפלה):**
נשתמש בתכונה שהוכחנו בסעיף א'(2). נציב k=n:
aₙ · a₂ₙ₋₍ₙ₋₁₎ = a₁ · a₂ₙ
aₙ · a₂ₙ₋ₙ₊₁ = a₁ · a₂ₙ
aₙ · aₙ₊₁ = a₁ · a₂ₙ
נתון לנו aₙ · aₙ₊₁ = 2187, לכן:
a₁ · a₂ₙ = 2187
נבטא את a₂ₙ באמצעות a₁ ו-q=3:
a₂ₙ = a₁ · q²ⁿ⁻¹ = a₁ · 3²ⁿ⁻¹
נציב זאת בחזרה במשוואה:
a₁ · (a₁ · 3²ⁿ⁻¹) = 2187
a₁² · 3²ⁿ⁻¹ = 2187
נבדוק חזקות של 3 ונגלה ש-3⁷ = 2187.
**a₁² · 3²ⁿ⁻¹ = 3⁷** (זו משוואה 1)
**משוואה שנייה (באמצעות הסכום):**
נשתמש בנוסחת סכום סדרה הנדסית: Sₙ = (a₁(qⁿ – 1)) / (q-1)
במקרה שלנו N = 2n ו-q=3:
S₂ₙ = (a₁(3²ⁿ – 1)) / (3-1) = 3280
(a₁(3²ⁿ – 1)) / 2 = 3280
**a₁(3²ⁿ – 1) = 6560** (זו משוואה 2)
**פתרון שתי המשוואות:**
נבודד את 3²ⁿ מכל אחת מהמשוואות.
* ממשוואה 1:
3²ⁿ⁻¹ = 3⁷ / a₁²
3²ⁿ / 3 = 3⁷ / a₁²
3²ⁿ = (3 · 3⁷) / a₁² = 3⁸ / a₁²
(נחשב 3⁸ = 6561)
3²ⁿ = 6561 / a₁²
* ממשוואה 2:
3²ⁿ – 1 = 6560 / a₁
3²ⁿ = (6560 / a₁) + 1
עכשיו נשווה בין שני הביטויים שקיבלנו עבור 3²ⁿ:
6561 / a₁² = (6560 / a₁) + 1
נכפיל את כל המשוואה ב-a₁² (כדי להיפטר מהמכנה):
6561 = 6560 · a₁ + a₁²
a₁² + 6560a₁ – 6561 = 0
קיבלנו משוואה ריבועית. נפתור אותה עם נוסחת השורשים:
a₁ = [-6560 ± sqrt(6560² – 4 · 1 · (-6561))] / 2
a₁ = [-6560 ± sqrt(43033600 + 26244)] / 2
a₁ = [-6560 ± sqrt(43059844)] / 2
a₁ = [-6560 ± 6562] / 2
יש שתי אפשרויות:
1. a₁ = (-6560 + 6562) / 2 = 2 / 2 = **1**
2. a₁ = (-6560 – 6562) / 2 = -13122 / 2 = -6561
כדי לדעת איזו תשובה נכונה, נצטרך לבדוק איזו מהן נותנת n טבעי.
* **נבדוק a₁ = 1:**
נציב במשוואה 1:
1² · 3²ⁿ⁻¹ = 3⁷
3²ⁿ⁻¹ = 3⁷
2n-1 = 7
2n = 8 => n = 4
זו תוצאה הגיונית (n=4 הוא מספר טבעי).
* **נבדוק a₁ = -6561:**
נציב במשוואה 1:
(-6561)² · 3²ⁿ⁻¹ = 3⁷
(-3⁸)² · 3²ⁿ⁻¹ = 3⁷
3¹⁶ · 3²ⁿ⁻¹ = 3⁷
3¹⁵⁺²ⁿ = 3⁷
15+2n = 7 => 2n = -8
מספר האיברים (2n) לא יכול להיות שלילי, ולכן פתרון זה נפסל.
הפתרון היחיד האפשרי הוא a₁ = 1.
**מ.ש.ל.**
#### (2) מצאו את מספר איברי הסדרה
במהלך הבדיקה בסעיף הקודם, כאשר הצבנו a₁ = 1, קיבלנו:
2n-1 = 7
2n = 8
מספר האיברים בסדרה הוא 2n.
**מספר איברי הסדרה הוא 8.**